Bộ lọc thông cao thụ động RC

Một bộ lọc thông cao cho phép tất cả các tần số trên một tần số cắt nhất định và suy giảm tất cả các tần số dưới tần số cắt đó.

Mạch đầu tiên chúng ta sẽ phân tích là bộ lọc thông cao RC, như hình trên. Trước khi bắt đầu phân tích toán học, chúng ta có thể suy ra một số tính chất điện bằng cách quan sát mạch điện.

Nếu điện áp đặt vào có tần số rất cao, điện kháng của C sẽ rất thấp so với R. Do đó, ở tần số cao, điện áp đầu vào Vin sẽ xuất hiện gần như không bị suy giảm ở đầu ra. Do đó, chúng ta có tên gọi bộ lọc thông cao. Khi tần số đầu vào giảm, _X_C trở nên lớn hơn, khiến đầu vào ngày càng bị suy giảm. Tại tần số bằng không, _X_C sẽ vô cùng cao và do đó điện áp đầu ra _V_out = 0.

Để phân tích mạch một cách toán học, chúng ta sẽ sử dụng mối quan hệ bộ chia điện áp và viết

Tuy nhiên, chúng ta sẽ giải tỷ số Vout trên Vin, vì chúng ta thường muốn biểu thị độ khuếch đại hoặc suy hao của bộ lọc. Tỷ số này được gọi là hàm truyền. Như một hàm truyền, chúng ta có

trong đó _ω_C = 1/RC là tần số đặc trưng.

Hàm truyền có thể được biểu diễn dưới dạng cực

Đặc tính biên độ

Xét đầu tiên đặc tính biên độ (phổ) tương ứng với phương trình trên. Đây là giá trị tuyệt đối (độ lớn) của hàm truyền, hoặc

Trên cơ sở decibel, điều này trở thành

Chúng ta hãy kiểm tra phương trình trên cho tần số rất thấp và rất cao. Đối với tần số cao, chúng ta có

Do đó, hành vi tần số cao về cơ bản không phụ thuộc vào tần số và có thể được biểu diễn bằng một đường thẳng nằm ngang ở mức 0 dB như trong hình dưới đây. Đặc tính biên độ thực tế được cho bởi hàm truyền là tiệm cận với đường thẳng này đối với ω cao.

Đối với cực khác, chúng ta có

Đây là dạng G_dB = 20_x, trong đó x = log10 (ω/_ω_C). Đường thẳng được xác định như vậy là tiệm cận tần số thấp của đặc tính thực tế. Độ dốc của đường tiệm cận là _dG_dB/dx = 20; nghĩa là, khi x tăng một đơn vị, _G_dB tăng 20 dB. Nhưng

và vì vậy ω/_ω_C phải tăng một thừa số 10, hay một thập kỷ, để làm cho x tăng một đơn vị. Do đó, độ dốc của đường tiệm cận tần số thấp là 20 dB mỗi thập kỷ. Một số người thích sử dụng quãng tám (tỷ số tần số 2:1). Độ dốc tương ứng là 6 dB mỗi quãng tám. Hai đường tiệm cận thẳng cắt nhau tại ω/_ω_C = 1, vì khi đó đặc tính biên độ có giá trị bằng không. Hai đường tiệm cận được thể hiện bằng nét đứt trong hình trên. Điểm giao nhau của chúng, ω = _ω_C, ngoài việc được gọi là tần số đặc trưng của mạch, còn được gọi là điểm gãy, hay tần số cắt. Cùng nhau, hai đường tiệm cận tạo thành một xấp xỉ đường gãy cho đặc tính thực tế. Tùy thuộc vào độ chính xác mong muốn, không đường nào có thể là một xấp xỉ đủ tốt cho đặc tính thực tế trong lân cận ω = _ω_C. Có thể chỉ ra rằng sai số cực đại xảy ra tại ω/_ω_C = 1 và xấp xỉ 3 dB. Hơn nữa, cách một quãng tám từ điểm này (tại ω/_ω_C = 0,5 và ω/_ω_C = 2) sai số xấp xỉ 1 dB. Từ đó, dễ dàng vẽ đặc tính biên độ thực tế với độ chính xác hợp lý. Đặc tính thực tế được thể hiện bằng đường liền nét trong hình trên. Đặc tính thông cao của mạch dễ dàng nhìn thấy trong hình này.

Đặc tính pha

Bây giờ chúng ta hãy xem xét góc của hàm truyền của bộ lọc (đôi khi được gọi là phổ pha), đó là

Góc pha bắt đầu từ π/2 với ω = 0 và tiến đến 0 ở ω lớn. Đặc tính pha có thể được xấp xỉ khá tốt bằng ba đoạn thẳng, như trong hình dưới đây: một xấp xỉ tần số thấp tại π/2 radian, một xấp xỉ tần số cao tại 0 radian và một xấp xỉ tần số trung gian tiếp tuyến với đường cong tại π/4 radian. Đặc tính thực tế được thể hiện bằng đường liền nét trong hình.